これは「Buffonの針」と呼ばれる有名な問題です．
Buffon は18世紀フランスの人です．

以下、2H=2L=1として考え方の一例を説明します．
針の中心(真ん中の点) P は隣り合ったひと組の直線対のあいだに入ります．
点 P と直線対の下側の直線との距離 X は区間 [0,1) 上の一様分布にしたがう確率変数とみなせます．
また，針の方向を，針の両端を延ばした直線と直線群とのなす角度 Y で表すと，
Y は [0,π) 上の一様分布にしたがう確率変数とみなせます．
ここで，X と Y は互いに独立な確率変数です．


針が直線と交わるのは，X < 1/2 sin(Y) か X > 1-1/2 sin(Y)のいずれかが成立する場合です．
したがって，針が直線と交わる確率は，



となります．

このことから，針を何回もランダムになげて針が直線と交差した回数を数える確率的な実験により，
π の近似値を得ることができることがわかります．
幾何と確率・統計とを組み合わせた考え方が本質的な役割を果たしています．

この問題での幾何と確率・統計とを組み合わせたアプローチは，
ステレオロジーと呼ばれている数理的な方法に密接に関連しています．
ステレオロジーは，３次元の物体に関する情報を，
物体をランダムに切って得られる２次元の断面から抽出するための方法で，
材料計測・生体計測などで活用されています．

back